Das ist natürlich eine schwierige Situation.
Generell gilt: Katzen/Hundehaltung kann nicht generell untersagt werden. Wenn also im Mietvertrag stünde 'Es dürfen keine Katzen/HUnde gehalten werden' (oder ähnliches). Dann ist diese Klausel erstmal unwirksam. Die Klausel 'Katzen/Hundehaltung bedarf der Zustimmung des Vermieters' (oder ähnliche Formulierungen) ist jedoch völlig rechtens. Es wird davon ausgegangen, dass ein Mieter, der einen Mietvertrag unterschreibt sich diesen auch durchliest. In Bezug auf diese Klausel heißt das, dass sich der Mieter 'sehenden Auges' darauf einlässt eventuell die Tierhaltung verboten zu bekommen.
Das war auch schon alles vor dem BGH-Urteil so. Das einzige, was sich dadurch verändert hat, ist eine gewisse 'Festigung' der Rechtslage, wobei man klar sagen muss, dass Urteile in Deutschland Einzelfallentscheidungen sind und kein Gericht daran gebunden ist. (Entscheidet ein Gericht bei vergleichbarer Interessenlage 'gegen' die BGH-Meinung, stehen die Chancen natürlich gut, dass das Urteil ind er nächsten Instanz aufgehoben wird.
Die Allergie der Vermieterin (oder anderer Personen im Haus) wäre übrigens ein wichtiger Grund mit dem sich die Tierhaltung einschränken ließe. Dabei käme es natürlich darauf an, ob die Vermieterin ebenfalls bei dir mit im Haus wohnt - in manchen Mehrfamilienhäusern ist das ja der Fall. Eventuell reicht es auch schon aus, wenn die Vermieterin plant die Wohnung nach deiner Mietzeit selbst zu nutzen. Das sind sicher spezielle Fallfragen.
Da du die Katze ohne Zustimmung des Vermieters geholt hast (und damit gegen deinen Mietvertrag verstoßen hast), kann dein Vermieter dich nun Abmahnen. In der Abmahnung kann er verlangen, dass du die Katze (=Gegenstand des Vertragsbruchs) entfernst. Tust du das nicht innerhalb der gesetzten Frist, kann dein Vermieter dir kündigen. Sowohl gegen die Abmahnung, als auch die Kündigung kannst du natürlich rechtlich vorgehen. Das Problem ist nur: Die Katze, die schon da ist, dürfte nicht da sein. Selbst wenn du nachträglich um Genehmigung der Katze bittest, hättest du immernoch gegen den Mietvertrag verstoßen.
Du kannst (und solltest) natürlich mit deinem Vermieter sprechen und um Genehmigung der Katze bitten. Gegen eine Verweigerung der Genehmigung kannst du wohl versuchen gerichtlich vorzugehen.
Die Frage ist, ob sich so ein gerichtlicher Streit wirklich lohnt, wenn du sowieso schon überlegst dann lieber umzuziehen. Es gibt keine Garantie, dass du Recht bekommst und wenn du den Prozess verlierst, bleibst du auf einer ganzen Menge Kosten sitzen. Falls du es trotzdem wagen willst, informiere dich beim Mieterschutzbund und hol dir dort wenn möglich Unterstützung, versuche mit deinem Vermieter zunächst ein Mediationsverfahren bei Gericht zu machen (billiger und meister erfolgreicher, da hier kein 'Alles-oder-nichts'-Urteil bei rauskommt, sondern ein gegenseitiger Vertrag). Falls es finanziell eng ist, gibt es noch die Möglichkeit Prozesskostenhilfe zu beantragen.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
(Bitte beachte, dass dies keine verbindliche Rechtsberatung war, sondern bloß meine Meinung/Einschätzung zum Sachverhalt. Diese erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. - Das lernt man als erstes im Jurastudium...)